Hilbertův hotel je pojmenován podle matematika Davida Hilberta, který na této hříčce demonstroval poněkud překvapivé vlastnosti nekonečných množin, o jejichž zpřístupnění lidstvu se zasloužil tvůrce teorie množin Georg Cantor.
Hilbertův hotel si můžeme představit jako virtuální hotel o nekonečně mnoha jednomístných pokojích. Každý pokoj může obývat nejvýše jedna osoba. Pokoje jsou očíslovány po řadě přirozenými čísly 1, 2, 3, 4, atd. Každý pokoj má tedy své číslo a každé přirozené číslo označuje právě jeden pokoj. Hotel je plně obsazen, žádný pokoj není volný.
1. Do recepce přijde nový zájemce o ubytování. Jak to recepční udělá, aby pro nového hosta získal volný pokoj a nikdo z ubytovaných nezůstal bez samostatného pokoje?
Řešení.
2. Do recepce přijde najednou milion nových zájemců o ubytování. Jak recepční zařídí, aby pro každého z dosavadních i nových hostů získal samostatný pokoj?
Řešení.
3. K hotelu přijde najednou nekonečný počet nových zájemců o ubytování. To už končí legrace. Napadne vás, jak si má recepční počínat, aby pro každého z dosavadních i nových hostů zařídil samostatný pokoj?
Řešení.
4. Představme si dále, že jednoho dne přijede k Hilbertovu hotelu 9 autobusů, každý s nekonečným počtem sedadel. Autobusy jsou označeny přirozenými čísly 1 až 9. Každý autobus přiváží do Hilbertova hotelu nekonečně mnoho hostů. Každý host má v autobusu místenku, na níž je uvedeno číslo jeho autobusu (A) a číslo jeho sedadla (B). Sedadla jsou v každém autobusu číslována po řadě přirozenými čísly 1, 2, 3, 4, atd.
Jak to udělat, aby všichni hosté hotelu i všechny osoby přivezené autobusy získali samostatný pokoj?
Řešení.
5. Představme si konečně, že dalšího dne přijede k Hilbertovu hotelu nekonečný počet autobusů, každý s nekonečným počtem sedadel. Autobusy jsou označeny po řadě přirozenými čísly 1, 2, 3, 4, atd. Každý autobus má své číslo a každým z přirozených čísel je označen právě jeden autobus.
Každý autobus přiváží do Hilbertova hotelu nekonečně mnoho hostů. Každý host má v autobusu místenku, na níž je uvedeno číslo jeho autobusu (A) a číslo jeho sedadla (B). Sedadla jsou v každém autobusu číslována po řadě přirozenými čísly 1, 2, 3, 4, atd.
Jak to má recepční udělat, aby i v tomto případě všichni hosté hotelu i všechny osoby přivezené autobusy získali v Hilbertově hotelu samostatný pokoj?
Řešení.
6. Řešení předchozí úlohy je správné, má však kosmetickou vadu. Nekonečně mnoho pokojů by zůstalo neobsazeno. Například pokoje č. 1, 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, atd. Vada se dá sice snadno odstranit, třeba tak, že osobám původně ubytovaným v hotelu přidělíme po řadě právě tato čísla pokojů. Recepční by však neměl k dispozici jednoduchý vzorec pro výpočet nového čísla pokoje z dosavadního čísla pokoje.
Řešení úlohy dle 5. zadání, které navíc splňuje podmínku obsazení všech pokojů a dává jednoduchý vzorec pro výpočet čísla pokoje, je
zde.
7. A na závěr: K Hilbertovu hotelu přijede nekonečný počet vlaků, každý s nekonečným počtem vagónů a každý vagón s nekonečným počtem sedadel. Vlaky jsou označeny po řadě přirozenými čísly 1, 2, 3, atd. Každý vlak má vagóny očíslované po řadě přirozenými čísly 1, 2, 3, atd. Každý vagón má sedadla očíslovaná po řadě přirozenými čísly 1, 2, 3, atd.
Každý cestující ve vlaku má místenku, na níž je uvedeno číslo jeho vlaku, číslo jeho vagónu a číslo jeho sedadla.
Jde i v tomto případě zařídit, aby všichni dosavadní hosté hotelu i všichni cestující ze všech vlaků získali v Hilbertově hotelu samostatný pokoj?
Řešení.