Pozorování a vysvětlení jevu
Dne 27.12.2008 odpoledne jsme byli na Horních Mísečkách v Krkonoších svědky optického jevu v atmosféře (ilustrační foto), který já osobně jsem měl příležitost spatřit prvně v životě. Běžná duha, ať jednoduchá či dvojitá, jejíž vznik se vysvětluje lomem a odrazem světla ve vodních kapkách, je vždy k vidění na opačné straně oblohy, nežli se nachází Slunce. Duha, kterou popisuji, však byla vidět při pohledu směrem ke Slunci, tedy zhruba k jihozápadu. Tvořila barevný pás ve tvaru kružnice o poloměru asi 22 stupňů se středem ve středu slunečního kotouče. V místech, kde duha protínala svůj myšlený horizontálního průměr, měla vysokou jasnost a vytvářela tam úkaz připomínající druhé a třetí Slunce, a to tím spíše, že skutečné Slunce uprostřed mezi nimi, svítící skrz průsvitnou vrstvu oblačnosti, mělo jasnost sníženou.
Teplota vzduchu byla asi mínus 4 stupně C. Celý popisovaný jev byl zřetelně vidět několik desítek minut, snad i více než hodinu.
Při pokusu o hypotézu vysvětlující mechanizmus vzniku této duhy jsem vyšel z předpokladu, že se při něm uplatňuje přítomnost ledových krystalků v atmosféře. Jejich tvar popisuje Keith Devlin v (1) takto:
Sněhová vločka začíná svou cestu ve formě nepatrného šestiúhelníkového krystalku ledu v horní vrstvě atmosféry. Jak ji proudy vzduchu nadnášejí a opět táhnou dolů se stále se měnící nadmořskou výškou a teplotou, krystal roste. Skutečný průběh růstu vločky závisí na jejích jednotlivých pohybech v atmosféře, ale protože je sněhová vločka malá, uplatňuje se stejná struktura růstu na všech jejích stranách, čímž si zachovává původní tvar šestiúhelníku. Při tomto procesu vzniká důvěrně známá šestiúhelníková symetrie.
Při vzniku popisované duhy se uplatní paprsky, které se při vstupu do krystalu ledu jednou z jeho šesti shodných stěn lámou a procházejí krystalem ke stěně svírající se vstupní stěnou úhel 60 stupňů (tedy ke stěně, která se vstupní stěnou není ani sousední, ani protilehlá), při průchodu touto stěnou se opět lámou a vycházejí ven. Na obr. 1 je znázorněna červeně dráha takového paprsku.
Základním vztahem, popisujícím lom světla na rozhraní dvou prostředí, je Snellův zákon. Ten říká, že podíl sinu úhlu dopadu alfa a sinu úhlu lomu beta (měřeno od kolmice k rovině rozhraní) je pro danou dvojici prostředí a danou barvu světla konstantní a nazývá se relativní index lomu n; tedy:
n = sin alfa / sin beta
Sluneční světlo je tvořeno spektrem barev mnoha frekvencí. V pořadí od nízkých frekvencí k vysokým jsou barvy ve spektru seřazeny takto: červená - žlutá - zelená - modrá - fialová. Světlo nižší frekvence se láme méně, světlo vyšší frekvence se láme více.
Relativní index lomu vzduch-led má hodnoty:
n = 1,306 pro červené světlo
n = 1,31 pro žluté světlo
n = 1,318 pro fialové světlo
Relativní index lomu led-vzduch má pro danou barvu světla hodnotu n´ = 1 / n .
Sluneční paprsek na obr. 1 dopadá na stěnu krystalu pod úhlem alfa, láme se pod úhlem beta, dopadá na stěnu pod úhlem (60 - beta), láme se pod úhlem gama a opouští krystal. Můžeme napsat tyto vztahy (číselné hodnoty úhlů na obr. 1 i v následujících výrazech jsou uvedeny ve stupních):
beta = arcsin (sin alfa / n)
gama = arcsin (n . sin (60 - beta))
dále vztah pro úhel (malé) omega:
omega = (90 - alfa) + 60 + (90 - gama)
a konečně vztah pro úhel (velké) OMEGA, což je celková úhlová odchylka mezi vstupním a výstupním paprskem:
OMEGA = 180 - omega
Po dosazení, úpravě a přechodu ze stupňů na obloukovou míru (60 stupňů = pí / 3) dostáváme tzv. duhovou funkci:
OMEGA = alfa - (pí / 3) + arcsin (n . sin ((pí / 3) - arcsin ((sin alfa) / n)))
Ta vyjadřuje celkovou úhlovou odchylku OMEGA mezi vstupním a výstupním paprskem v závislosti na vstupním úhlu alfa. Grafy této funkce pro červenou, žlutou a fialovou barvu světla jsou na obr. 2. Je vidět, že funkce má extrém (minimum) blízko hodnoty OMEGA = 22 stupňů, což znamená, že OMEGA nabývá této nebo velmi blízké hodnoty pro poměrně široké spektrum vstupních úhlů alfa. To je důvod, proč duhu vidíme kolem Slunce právě ve vzdálenosti 22 stupňů.
Ze skutečnosti, že OMEGA pro všechna alfa nabývá hodnot větších než 22 stupňů, je možno vyvodit, že obloha v oblasti duhy a jejího vnějšího okolí bude vykazovat poněkud zvýšenou jasnost, obloha nacházející se uvnitř duhy naopak jasnost poněkud sníženou.
Poznámka: Pro vstupní úhly alfa menší než asi 14 stupňů (záleží na barvě světla) dojde v krystalu namísto druhého lomu k úplnému odrazu v důsledku překročení mezního úhlu. Proto grafy na obr. 2 začínají až od těchto hodnot alfa.
Z grafů na obr. 2 je vidět, že duhová funkce nabývá extrému pro červené světlo při nižší hodnotě OMEGA, než je hodnota OMEGA odpovídající extrému pro fialové světlo. Z toho lze odvodit předpověď, že popisovaná duha by měla mít vnitřní okraj červený a vnější okraj fialový. Bohužel, orientaci barev duhy jsem si nezaznamenal. Jelikož jde o základní test předkládané hypotézy, jehož nesplnění by svědčilo o její závažné vadě, uvítám, pokud mi někdo zašle snímek, na němž se mu popisovaný úkaz podařilo zachytit.
Milan Špitálský
milan.spitalsky@volny.cz
____________________
(1) Devlin, Keith: Jazyk matematiky Jak zviditelnit neviditelné. Argo a Dokořán, Praha, 2003, str. 211.
Autorem ilustračního fota je Jiří Smejkal. Zdroj: http://ukazy.astro.cz/upload/20071222JiriSmejkal_Img_0340.jpg